РЕШУ ЦТ — математика

Задания

Задание № 2341 Добавить в вариант

Источник: Централизованный экзамен. Математика: полный сборник тестов, 2024 год. Вариант 7

Экстремумы, наибольшие и наименьшие значения

Найдите наибольшее значение функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: x в кубе , знаменатель: 3 конец дроби минус 0,5x в квадрате минус 20x минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби$ на отрезке [– 6; 1].

Решение. Исследуем поведение функции при помощи производной:

$f' левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 3 умножить на x в квадрате минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 2 умножить на x минус 20 умножить на 1 минус 0 = x в квадрате минус x минус 20.$ $f' левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 3 умножить на x в квадрате минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 2 умножить на x минус 20 умножить на 1 минус 0 =$
$= x в квадрате минус x минус 20.$ $f' левая круглая скобка x правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 3 умножить на x в квадрате минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 2 умножить на x минус 20 умножить на 1 минус 0 =$
$= x в квадрате минус x минус 20.$

Приравняем ее к нулю:

$x в квадрате минус x минус 20 = 0 равносильно левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений x = 5, x = минус 4 конец совокупности .$ $x в квадрате минус x минус 20 = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений x = 5, x = минус 4 конец совокупности .$ $x в квадрате минус x минус 20 = 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений x = 5, x = минус 4 конец совокупности .$

Нанесем точки экстремумов на числовую ось и определим промежутки возрастания и убывания:

Отрезку [– 6; 1] принадлежит точка – 4, которая является максимумом функции. Ей и будет соответствовать наибольшее значение функции:

$f левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка = дробь: числитель: левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка в кубе , знаменатель: 3 конец дроби минус 0,5 умножить на левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка в квадрате минус 20 умножить на левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби =$
$= минус дробь: числитель: 64, знаменатель: 3 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 16 плюс 80 минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби =$
$= минус дробь: числитель: 66, знаменатель: 3 конец дроби минус 8 плюс 80 = минус 22 плюс 72 = 50.$ $f левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка в кубе , знаменатель: 3 конец дроби минус 0,5 умножить на левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка в квадрате минус 20 умножить на левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби =$
$= минус дробь: числитель: 64, знаменатель: 3 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 16 плюс 80 минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби =$
$= минус дробь: числитель: 66, знаменатель: 3 конец дроби минус 8 плюс 80 = минус 22 плюс 72 = 50.$ $f левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка в кубе , знаменатель: 3 конец дроби минус 0,5 умножить на левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка в квадрате минус 20 умножить на левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби =$
$= минус дробь: числитель: 64, знаменатель: 3 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 16 плюс 80 минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби =$
$= минус дробь: числитель: 66, знаменатель: 3 конец дроби минус 8 плюс 80 =$
$= минус 22 плюс 72 = 50.$

Ответ: 50.

Ответ: 50

2341

Источник: Централизованный экзамен. Математика: полный сборник тестов, 2024 год. Вариант 7

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2341	50